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09-10高数B(下)A试卷及答案


2009/2010

学年

2

(A 学期 高等数学 B(下) 卷 ) 课程考试试题 数理学院

拟题学院(系): 适 用 专 业:

拟题人: 校对人:

彭翠英 陈宁

材料学院等相关专业

(答案写在答题纸上,写在试题纸上无效) 一、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 设向量 a ? ? 2,1, 2 ? , b ? ? 0,3, 4 ? ,则 cos(a, b) ? 2.已知函数 z ? arctan 3. 交换二重积分 I ?
2

?

?

?? ?

.

y , 则 dz ? x
x x

. .

?

1

0

dx ? 2 f ? x, y ?dy 的次序, I ?

4. 设 L 是 y ? x 上点 ? 0, 0 ? 与点 ?1,1? 之间一段弧,则曲线积分 xds ?

?
L

.

5.函数 f ( x) ?

1 展开为 x ? 1 的幂级数是 x
2 2

.

二、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1.将 xoy 面上曲线 3x ? 2 y ? 12 绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为( ).

( A) 3 ? x 2 ? z 2 ? ? 2 y 2 ? 12 (C ) 3 x 2 ? 2 ? y 2 ? z 2 ? ? 12

( B) 3 ? x 2 ? z 2 ? ? 2 y 2 ? 12 ( D) 3 x 2 ? 2 ? y 2 ? z 2 ? ? 12 .
) .

2. 函数 z ? f ? x , y ? 在点 ? x, y ? 处偏导数存在是函数 f ? x, y ? 在该点可微分的 (

( A) 充分条件

( B) 必要条件
2

(C ) 充要条件

( D) 以上都不是.

3.设曲线积分 xy dx ? y? ? x ?dy 与路径无关,其中 ? 具有连续导数,且 ? ? 0 ? ? 0 ,则

?
L

? ? x? ? (
( A) 2x
4.若级数

).

( B) 2x ? C

(C ) x 2

( D) ? x2 .
).

?
n ?1

?

3n ? 1 收敛,则实数 p 满足的条件是( np
( B) p ?

( A) p ?

3 2

3 2

(C ) p ? 1

( D) p ? 1 .

5. 2? 为周期的函数在 ? ?? , ? ? 上的表达式为 f ( x ) ? ? 以

? ?1, ?? ? x ? 0 ?1 ? x, 0 ? x ? ?

, 其傅里叶级数

的和函数为 s ( x), 则 s (0) 和 s ?1? 分别是(

).

( A) 0和1
三、 (共 21 分)

( B) 0和

1 2

(C ) 1和2

( D) 0和2 .

1.(7 分)设 u ? x ? y ? z ,其中 z ? x cos y ,求
2 2 2 2

?u ?u , . ?x ?y

2.(7 分)计算二重积分

?? xy d? ,
D

1

其中 D 是由 y ? ln x, y ? 1, y ? 2,x ? 1 围成.

x x 3.(7 分)利用格林公式计算曲线积分 ?e sin y ? 3 ? x ? y ??dx ? e cos y ? 2 x dy ,其 ? ?

?
L

?

?

中 L 是从点 A ? 4, 0 ? 沿上半圆周 y ? 四、 (共 21 分)

4 x ? x 2 到点 O ? 0, 0 ? 的弧.

1.(7 分)利用高斯公式计算曲面积分
2 2

?? ? x ? y ?dydz ? ? y ? z ? dzdx ? ? z ? x ? dxdy ,其
?

中 ? 是 z ? x ? y 介于 z ? 0 与 z ? 1之间部分的下侧. 2.(7 分)求锥面 z ?

x 2 ? y 2 含在柱面 x 2 ? y 2 ? 1内的那部分曲面的面积.
2 2

3.(7 分)求函数 f ? x, y ? ? x ? xy ? y 在点 p ?1,1? 的梯度,并求函数在该点处沿着从点 A(1,1)到点 B(2,2)的方向的方向导数. 五、 (共 16 分) 1.(8 分)求幂级数

?nx
n ?1
2

?

1

n ?1

的收敛域及和函数.

2.(8 分)求曲面 z ? x ? y 与平面 2 x ? 4 y ? z ? 0 平行的切平面方程.
2

六、 (共 12 分) 1.(6 分)①设正项级数
?

? un 收敛,证明级数 ? un2 也收敛的.
n ?1 n ?1 ? ?

?

?

②设级数

? un2 和 ? vn2 都收敛,证明级数 ? un vn 绝对收敛.
n ?1 n ?1 n ?1

2.(6 分)设函数 z ? f ? x ? ? ( y )? ,其中 ? 可导, f 二阶可导,证明: .

?z ? 2 z ?z ? 2 z ? ? ? . ?x ?x?y ?y ?x 2

2009-2010 学年 2 学期 案 拟题学院(系) : 数理学院 适用专业: 材料学院等相关专业

高等数学(B) (下)A 卷 试题标准答 拟 题 人: 彭翠英 彭翠英

书写标准答案人:

(答案要注明各个要点的评分标准) 一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)

1.

1 11 .; 2. 2 ? xdy ? ydx ? ;3. x ? y2 15

? dy ?
0

1

y

y

f ? x, y ?dx ;

4.

1 5 5 ?1 12

?

?



5.

? ? ?1?
n ?0

?

n

( x ? 1) n , x ? ? 0, 2 ? .

二、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1.A 2.B 3.C 4. A 三、 每小题 7 分,共 21 分) (

5.D

1. 解


?u ? 2 x ? 2 z ? 2 x cos y ? 2 x ? 4 x3 cos 2 y ?x
?u ? 2 y ? 2 z ? x 2 ? ? sin y ? ? 2 y ? x 4 sin 2 y ?y

---------------3

----------------7

分 2. 解 原式 ?

?

2

1

dy ?
2

ey

1

1 dx xy

------------------------------3 分

??

1

1 ey ?ln x?1 dy y

--------------------------------6 分

? ? dy ? 1
1

2

-----------------------------------------------7 分

3.解 引进辅助线:从点 O ? 0, 0 ? 到点 A ? 4, 0 ? 有向线段 OA ,则 由格林公式得 原式 ?

??? ?

---------- 1 分

??? ? L ? OA

? ?

??

??? ? OA

? ?? ? e x cos y ? 2 ? e x cos y ? 3?dxdy ? ? ? ?3x ?dx
4 0 D
4

----------4 分

? ?? dxdy ? 3? xdx
0 D

--------------------------------6 分 --------------------------------7 分

? 2? ? 24

四、 (每小题 7 分,共 21 分) 1.解 引进辅助面 ?1 : z ? 1 x ? y ? 1 ,取上侧.
2 2

?

?

原式 ?

? ? ?1

? ??? ??
?1
2? 0

? ??? (1 ? 1 ? 1)dxdydz ? ?? ? z ? x ?dxdy
? ?1
1 1

----------3 分

? 3? d? ? ? d ? ? 2 dz ? ?? ?1 ? x ?dxdy
0

?

-------------------------------5 分

Dxy

2? 1 3 ? ? ? ? d? ? ?1 ? ? cos ? ?? d ? 0 0 2 3 ? -------------------------------7 分 ? ? ?? ? 2 2 2.解 设锥面被柱面截下的曲面面积为 A ,则有

A ? ?? 1 ?
D

?2 z ?2 z ? dxdy ? 2 ?? dxdy ?x 2 ?y 2 D
1 0

-------------------5 分

? 2 ? d? ? ? d ? ? 2?
0

2?

-------------------------------7 分

3.解

? gradf ( x, y ) ? f x ( x, y )i ? f y ( x, y ) j ? ? 2 x ? y ? i ? ? 2 y ? x ? j ? gradf (1,1) ? 3i ? 3 j
?

?

?

?

?

?

?

--------------------------3 分

设 l ? (1,1) ,则 l 的方向余弦为 cos ? ?

?

2 2 , cos ? ? ----------------5 分 2 2

? ?

?f s y o ? f x c o s ? f y c o s ? ? 2 x ? y? c o? ? ? 2? ?x c? s ? ? ?l ?f |( 1 , ?) f x ( 1 , ? ) c o?s f y 1 ? ?( 1 , 1 ) c o s ? 1 ?l
? 3? 2 2 ? 3? ?3 2 2 2
--------------------------7 分

五、 (每小题 8 分,共 16 分) 1.解

R ? lim

n ??

an ?1 an ?1

-----------------------------------------------2 分

当 x ? ?1 时原级数收敛,当 x ? 1 原级数发散, 故级数

?nx
n ?1

?

1

n ?1

收敛域为 ? ?1,1? ,

----------------5 分

设幂级数在 ? ?1,1? 区间内的和函数为 s ( x ) ,则

? ? ? x 1 xn s( x) ? ? x n ?1 ? x ? ? x ? ? x n ?1dx 0 n ?1 n n ?1 n n ?1

--------------------------7 分

? x?


x ?

0

?x
n ?1
2

n ?1

dx ? x ?

x

0

1 dx ? ? x ln ?1 ? x ? 1? x

x ? ? ?1,1?

----------------8

2.解 曲面 z ? x ? y 的切平面的法向量为 ? 2 x, 2 y, ?1? ,----------------2 分
2

平面 2 x ? 4 y ? z ? 0 的法向量为 ? 2, 4, ?1? , 则有

----------------4 分

2 x 2 y ?1 ? ? ,于是 x ? 1, y ? 2 ,从而 z ? 12 ? 22 ? 5 , 2 4 ?1
----------------6 分

切点坐标为 ?1, 2,5 ? . 故所求的切平面方程为 2 ? x ? 1? ? 4 ? y ? 2 ? ? ? z ? 5 ? ? 0 即 2x ? 4 y ? z ? 5 ? 0 六、 (每小题 6 分,共 12 分)
2 un ? lim un ? 0 1.证明 ①?级数 ? un 收敛,且 lim n ?? u n ?? n ?1 n

----------------8 分

?

----------------2 分

?根据比较审敛法的极限形式

?u
n ?1

?

2 n

也收敛.

----------------3 分

②?

un vn ?

2 2 ? un ? vn 1 2 2 , 而级数 ? ? un ? vn ? 收敛, 2 n ?1 2
?

----------------5 分
?

?由比较审敛法知级数

? un vn 收 敛 , 从 而 级 数
n ?1

?u v
n ?1

n n

绝对收敛

----------------6 分 2、证明 ?

?2 z ?z ? f ?? ? f ?, ?x 2 ?x
?2 z ? f ?? ? ? ? ? y ? , ?x?y

----------------2 分

?z ? f ? ?? ? ? y ? ?y

----------------5 分

?

?z ? 2 z ?z ? 2 z ? ? f ? ? f ?? ? ? ? ? y ? ? ? 2 ?x ?x?y ?y ?x

----------------6



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