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2014-2019年高考数学真题分类汇编专题3:导数5(理科大题)1带详细答案

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2014-2019 年高考数学真题分类汇编 专题 3:导数(理科大题)(一) 1.(2014?新课标Ⅰ理)设函数 f (x) ? aexlnx ? bex?1 ,曲线 y ? f (x) 在点 (1 , f (1) ) 处得切线方程为 x y ? e( x ?1) ? 2. (Ⅰ)求 a 、 b ; (Ⅱ)证明: f (x) ? 1 . 【考点】利用导数研究函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】(Ⅰ)求出定义域,导数 f ?(x) ,根据题意有 f (1) ? 2 , f ? (1) ? e ,解出即可; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (x) ? 1 等价于 xlnx ? xe?x ? 2 ,设函数 g(x) ? xlnx ,函数 h(x) ? xe?x ? 2 ,只需证明 x e g(x)min ? h(x)max ,利用导数可分别求得 g(x)min , h(x)max ; 【解答】解:(Ⅰ)函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) , f ?(x) ? aexlnx ? a x ex ? b x2 ex?1 ? b x ex?1 , 由题意可得 f (1) ? 2 , f ? (1) ? e , 故 a ?1,b ? 2 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (x) ? exlnx ? 2 ex?1, x f (x) ? 1,?exlnx ? 2 x ex?1 ? 1,?lnx ? 1 ex ? 2 xe , ? f (x) ? 1等价于 xlnx ? xe?x ? 2 ,设函数 g(x) ? xlnx ,则 g?(x) ?1? lnx , e ?当 x ?(0, 1) 时, g?(x) ? 0 ;当 x ? (1 , ??) 时, g?(x) ? 0 . e e 故 g(x) 在 (0, 1) 上单调递减,在 (1 , ??) 上单调递增,从而 g(x) 在 (0, ??) 上的最小值为 g(1) ? ? 1 . e e ee 设函数 h(x) ? xe?x ? 2 ,则 h?(x) ? e?x (1 ? x) . e ?当 x ?(0,1) 时, h?(x) ? 0 ;当 x ?(1,??) 时, h?(x) ? 0 , 故 h(x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减, 从而 h(x) 在 (0, ??) 上的最大值为 h (1) ? ? 1 . e 综上,当 x ? 0 时, g(x) ? h(x) ,即 f (x) ? 1 . 【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分 析解决问题的能力. 2.(2014?新课标Ⅱ理)已知函数 f (x) ? ex ? e?x ? 2x . (Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性; (Ⅱ)设 g(x) ? f (2x) ? 4bf (x) ,当 x ? 0 时, g(x) ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知1.4142 ? 2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的*似值(精确到 0.001) . 【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】对第(Ⅰ)问,直接求导后,利用基本不等式可达到目的; 对第(Ⅱ)问,先验证 g(0) ? 0 ,只需说明 g(x) 在[0 ? ?) 上为增函数即可,从而问题转化为“判断 g?(x) ? 0 是否成立”的问题; 对第(Ⅲ)问,根据第(Ⅱ)问的结论,设法利用 2 的*似值,并寻求 ln2 ,于是在 b ? 2 及 b ? 2 的情况 下分别计算 g(ln 2) ,最后可估计 ln2 的*似值. 【解答】解:(Ⅰ)由 f (x) 得 f ?(x) ? ex ? e?x ? 2…2 ex e?x ? 2 ? 0 , 即 f ?(x)…0 ,当且仅当 ex ? e?x 即 x ? 0 时, f ?(x) ? 0 , ?函数 f (x) 在 R 上为增函数. (Ⅱ) g(x) ? f (2x) ? 4bf (x) ? e2x ? e?2x ? 4b(ex ? e?x ) ? (8b ? 4)x , 则 g?(x) ? 2[e2x ? e?2x ? 2b(ex ? e?x ) ? (4b ? 2)] ? 2[(ex ? e?x )2 ? 2b(ex ? e?x ) ? (4b ? 4)] ? 2(ex ? e?x ? 2)(ex ? e?x ? 2 ? 2b) . ① ex ? e?x ? 2 , ex ? e?x ? 2 ? 4 , ?当 2b? 4 ,即 b? 2 时, g?(x)…0 ,当且仅当 x ? 0 时取等号, 从而 g(x) 在 R 上为增函数,而 g(0) ? 0 , ?x ? 0 时, g(x) ? 0 ,符合题意. ② 当 b ? 2 时 , 若 x 满 足 2 ? ex ? e?x ? b ?2 即2 ?2 ? ex ? e?x ??ex ? e?x ? 2b ? 2 ,得 ln(b ?1 ? b2 ? 2b) ? x ? ln(b ?1 ? b2 ? 2b) ,此时, g?(x) ? 0 , 又由 g(0) ? 0 知,当 0 ? x? ln(b ?1 ? b2 ? 2b ) 时, g(x) ? 0 ,不符合题意. 综合①、②知, b? 2 ,得 b 的最大值为 2. (Ⅲ) 1.4142 ? 2 ? 1.4143 ,根据(Ⅱ)中 g(x) ? e2x ? e?2x ? 4b(ex ? e?x ) ? (8b ? 4)x , 为了凑配 ln2 ,并利用 2 的*似值,故将 ln 2 即 1 ln2 代入 g(x) 的解析式中, 2 得 g(ln 2) ? 3 ? 2 2b ? 2(2b ?1)ln2 . 2 当 b ? 2 时,由 g(x) ? 0 ,得 g(ln 2) ? 3 ? 4 2 ? 6ln2 ? 0 ,


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